Resolver la ecuación del polinomio de 4º grado
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Ejemplo 2 :Resolver la ecuación x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 20 = 0, si una de sus raíces es 3 + i.Solución :Como el número complejo 3 + i es una raíz, entonces su conjugado 3 – i también es una raíz.Ahora vamos a formar una ecuación cuadrática con estas dos raíces. La forma general de una ecuación cuadrática con raíces a y b esx² – (Suma de las raíces) x + Producto de las raíces = 0Suma de las raíces = 3 + i + 3 – i ==> 6Producto de las raíces = (3 + i) (3 – i) = 3² – i² = 9 – (-1) ==> 9 + 1 ==> 10x² – 6 x + 10 = 0En realidad tenemos un polinomio de grado 4, podemos dividir el polinomio dado en dos ecuaciones cuadráticas. Hasta ahora a partir de las raíces dadas encontramos una ecuación cuadrática. A partir de esta cuadrática vamos a encontrar la otra parte,x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 20 = (x² – 6 x + 10) (x² – P x + 2)Para encontrar el valor de p, estamos igualando los coeficientes del término x-32 = -10p – 12Añadir 12 en ambos lados-32 + 12 = -10p-10p = -20dividir por -10 en ambos ladosp = -20/(-10) ==> 2x² -(2) x + 5La otra parte del polinomio dado es x² – 2 x + 5. Al resolver esta ecuación cuadrática obtendremos dos raíces.No podemos factorizar esta ecuación cuadrática. Así que vamos a utilizar la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación. a = 1, b = -2 y c = 5x = -b ±√(b² -4ac)/2ax = 2 ±√(2² -4(1)(5)/2(1)x = 2 ±√(4-20)/2(1)x = 2 ±√(-16)/2(1)x = (2 ± 4i)/2x = 1 ± 2iDe ahí que las raíces sean 3 + i, 3 – i, 1 + 2i, 1 – 2i
Solucionador de ecuaciones cuárticas
Existe, de hecho, una fórmula general para resolver ecuaciones cuárticas (polinomios de 4º grado). Al igual que la fórmula cúbica es significativamente más compleja que la fórmula cuadrática, la fórmula cuártica es significativamente más compleja que la fórmula cúbica. El artículo de Wikipedia sobre las funciones cuárticas tiene un largo proceso para obtener las soluciones, pero no da una fórmula explícita.
Hay que tener en cuenta que en las fórmulas cúbica y cuártica, dependiendo de cómo se exprese la fórmula, la corrección de las respuestas depende probablemente de una elección particular de la definición de las raíces principales para los números complejos no reales y hay dos formas diferentes de definir dicha raíz principal.
No puede haber fórmulas algebraicas explícitas para las soluciones generales de los polinomios de grado superior, pero para demostrarlo se necesitan matemáticas más allá del precálculo (ahora se suele demostrar con la Teoría de Galois, aunque originalmente se demostró con otros métodos). Este hecho se conoce como el teorema de Abel-Ruffini.
También hay que destacar que Wolfram vende un póster que analiza la resolubilidad de las ecuaciones polinómicas, centrándose especialmente en las técnicas para resolver una ecuación quíntica (polinómica de 5º grado). Este póster ofrece fórmulas explícitas para las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, cúbicas y quínticas.
Raíces polinómicas de grado 5
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Cómo resolver ecuaciones de x^4
Antes de la «�época de las matemáticas simbólicas» (Maple, Mathematica etc) debemos decir que esta ecuación no tiene ninguna solución general.Ahora podemos decir entonces que la solución general es RootOf(x^4-a*x^3+x^2-b=0).La respuesta de Mathcad «el resultado es demasiado largo para mostrarlo aquí» es errónea.Valery Ochkovhttp://twt.mpei.ac.ru/ochkov
¿Por qué quieres la solución simbólica? Si cambias la x^4 por x para obtener un cúbico, y lo resuelves, te harás una idea de lo compleja que será la solución de un cuártico. ¿Qué harías con una bestia tan horrible y compleja cuando la tuvieras?
Tienes que extraer las raíces individualmente y expandirlas y simplificarlas. Entonces podrás ver las raíces, y verás por qué mostrarlas no es realmente útil.Probablemente obtendrías algo más sencillo si empezaras con un cuártico al que le faltara el término cúbico en lugar del término lineal.Tom Gutman
>>Las ecuaciones de 5º grado en adelante son las que no se pueden resolver. Lo que es cierto, y lo que Abel demostró, es que hay quínticos cuyas raíces no pueden expresarse en términos de los operadores algebraicos y las raíces de polinomios simples de la forma xn-a. Pero los polinomios quínticos se pueden resolver tan bien como los cuárticos o los cúbicos. Sólo tenemos que aplicar las técnicas de solución directamente a los quínticos en lugar de a los polinomios simplificados de dos términos.Tom Gutman